Question

एक कम्पनी प्लाईवुड के अनूठे स्मृति चिह्न का निर्माण करती है। A प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के निर्माण में 5 मिनट काटने और 10 मिनट जोड़ने में लगते हैं। B प्रकार के प्रति स्मृति चिह्न के लिए 8 मिनट काटने और 8 मिनट जोड़ने में लगते हैं। दिया गया है कि काटने के कुल समय 3 घण्टे 20 मिनट तथा जोड़ने के लिए 4 घण्टे उपलब्ध हैं। प्रत्येक A प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 5 और प्रत्येक B प्रकार के स्मृति चिह्न पर Rs 6 का लाभ होना है। ज्ञात कीजिए कि लाभ के अधिकतमीकरण के लिए प्रत्येक प्रकार के कितने-कितने स्मृति चिह्नों का कम्पनी द्वारा निर्माण होना चाहिए?

Answer 1

माना A प्रकार के स्मृति चिह्न = x और B प्रकार के स्मृति चिह्न = y दिये गये आँकड़ों से निम्नलिखित सारणी बनाते हैं

अतः उपरोक्त रैखिक प्रोग्रामन समस्या का गणितीय निरूपण इस प्रकार होगा–

Z = 5x + 6y का अधिकतम मान निकालिए।

जबकि 5x + 8y ≤ 200 …(i)

10x + 8y ≤ 240 5x + 43 ≤ 120 …(ii)

x ≥ 0 …(iii), y ≥ 0 …(iv)

उपरोक्त असमिकाओं के संगत समिकाओं के आलेख खींचते हैं

चित्र से स्पष्ट है कि सुसंगत क्षेत्र (छायांकित) OABC परिबद्ध है।

कोनीय बिन्दु O(0, 0), A(24, 0), B(8, 20), C(0, 25) हैं।

इन कोनीय बिन्दुओं पर Z का मान ज्ञात करते हैं—

अत: Z का अधिकतम मान 160 बिन्दु B(8, 20) पर है।

∴ अधिकतम लाभ के लिए टाइप 3 के स्मृति चिह्न = 8 और B टाइप के = 20